Bilaga 4
Beräkning av geometriskt medelvärde
Beräkning av genomsnittlig totalavkastning eller återbäringsränta med geometrisk metod
Den geometriska metoden är den gängse metoden vid beräkning av fonders genomsnittliga avkastning över en period. Med metoden beräknas genomsnittlig avkastning eller förräntning som en genomsnittlig effektivränta, dvs. som en genomsnittlig årsränta vid betalning i efterskott.
I tekniska termer kan metoden i ord beskrivas på följande sätt. Det tidsviktade medelvärdet av avkastningen eller räntan beräknas med utgångspunkt från ett tidsviktat vanligt aritmetiskt medelvärde av motsvarande avkastnings- eller ränteintensiteter. Det geometriska medelvärdet bestäms slutligen genom att räkna om den genomsnittliga intensiteten till vanlig effektiv avkastning eller ränta.
Om de avkastningar eller räntor som medelvärdet beräknas för gäller kalenderårsvis, är tidsviktningen enkel, med lika vikt för varje kalenderår. Men om exempelvis återbäringsräntorna har gällt i perioder med olika längd uttryckt i månader, ska de tidsviktas vid beräkningen av medelvärdet. En period om tre månader får då tidsvikten 25 procent av ett år medan en period av längden tolv månader får vikten 100 procent, dvs. ett år, osv.
Om vi utgår från fem kalenderårsavkastningar T(1), T(2), …, T(5), t.ex. 5, 6, 10, 4 och -1 %, så är motsvarande intensiteter u(1), u(2), …, u(5). Intensiteterna definieras av u(i) = log (1+T(i)), beräknat med 10-logaritmen. I vårt exempel är intensiteterna log 1,05, log 1,06, …, log 1,2. Beräkna det aritmetiska medelvärdet u = [u(1)+u(2)+…+u(5)]/5. Det geometriska medelvärdet är då 10 -1. I vårt exempel är det aritmetiska medelvärdet 4,81 procent medan det geometriska är 4,74 procent. Det går att bevisa att det geometriska medelvärdet aldrig är större än det aritmetiska och att de är lika om alla ingående tal är lika.
Det geometriska medelvärdet är rättvisande i den meningen att ett belopp som sätts in vid femårsperiodens början får samma slutvärde om det förräntas eller växer:
• år för år med de fem givna talen, eller
• år för år med ett och samma tal, nämligen det geometriska medelvärdet.
Det följer att förräntning alla fem åren med det aritmetiska medelvärdet ger ett för stort och missvisande värde.
Ett exempel med varierande delperiodlängd: Låt avkastningarna eller räntorna vara som i föregående exempel men låt delperioderna ha längderna t(1), t(2), …, t(5), t.ex. 11, 7, 6, 17 och 19 månader, totalt fortfarande 60 månader eller fem år. De viktade intensiteterna får då det tidsviktade aritmetiska medelvärdet u = [11•u(1) + 7•u(2) + … + 19•u(5)]/60. Det geometriska medelvärdet är som tidigare 10 -1. Det viktade geometriska medelvärdet är 3,38 procent medan på motsvarande sätt viktat aritmetiskt medelvärde är 3,43 procent.
För att beräkna det geometriska medelvärdet G när avkastning eller ränta uttrycks i procent, kan vi använda följande formler:
dk = längden av delperiod k
rk = avkastningen eller räntan för delperiod k, uttryckt som effektiv avkastning eller ränta, i procent.
Formeln kan också skrivas utan logaritmer:
